FEM解析の基礎——設計者が知っておくべき有限要素法の考え方

FEM解析(有限要素法解析)という言葉を聞くと、専門の解析エンジニアがやる高度な仕事だと思っている設計者は多いのではないだろうか。私も新人の頃はそうだった。強度計算は手計算の公式か、せいぜい先輩から譲り受けたExcelシートで済ませるものだと思っていた。

その認識が変わったのは、ある産業機械メーカーで、解析専任者が不在の小規模プロジェクトに配属されたときだった。強度評価をすべて自分でやらざるを得ない状況に追い込まれ、見よう見まねでFEMソフトを触り始めた。最初は結果の意味も分からず、赤い応力コンター図を見て「なんとなく危なそう」というレベルの理解しかなかった。だが数年かけて場数を踏むうちに、FEM解析は「便利な計算機」ではなく「設計判断のための道具」として使いこなせるようになってきた。この記事では、専門の解析エンジニアではない一般の設計者が、FEM解析の考え方をどう理解し、どう実務に活かせばいいかを、失敗談を交えながら書いていく。

数式の詳細な導出には立ち入らず、あくまで「設計者が誤解しやすいポイント」に焦点を当てる。

有限要素法とは何をしているのか

有限要素法(Finite Element Method)は、複雑な形状を持つ構造物を、単純な形状の要素(メッシュ)に分割し、それぞれの要素における力学的な振る舞いを近似計算でつなぎ合わせて、全体の変形や応力を求める数値解析手法だ。手計算では解けないような複雑な形状でも、コンピュータの力を借りて近似的に答えを出せる、というのが大まかなイメージになる。

ここで設計者が最初に理解しておくべきことは、「近似計算である」という点だ。FEM解析は正確な理論解を出すものではなく、メッシュの分割方法や境界条件の設定次第で結果が変わりうる。私が新人の頃に犯した失敗は、この「近似」という前提を軽視し、ソフトが出した数値をそのまま鵜呑みにしてしまったことだった。ある治具部品の強度評価で、メッシュを粗く切ったまま解析した結果、最大応力値が実際よりも過小評価されていたことに気づかず、そのまま設計を進めてしまったことがある。量産後に軽微なクラックが発生し、原因を調べる過程でメッシュの粗さが影響していたことが判明した。この経験以降、私は解析結果を見るときに必ず「このメッシュ分割で信頼できる結果か」を自問するようになった。

有限要素法の基本原理をもう少し掘り下げると、各要素の変形は「形状関数」と呼ばれる近似式で表現され、要素同士が節点でつながることで全体の変形が計算される。この仕組みを厳密に理解する必要は実務上あまりないが、少なくとも「要素の中では応力や変形が単純な関数で近似されている」という事実は知っておいたほうがいい。この前提を知っていると、要素のサイズや種類(1次要素か2次要素か)によって同じ形状でも結果に差が出る理由が理解しやすくなる。私が新人の頃に混乱したのは、1次要素(節点が角にしかない単純な要素)と2次要素(辺の中点にも節点がある要素)で同じメッシュサイズでも計算結果が大きく異なったことだった。後から知ったのは、1次要素は形状の近似精度が低く、特に曲げが支配的な変形では応力を過小評価しやすいという特性があるということだった。今では曲げ変形が支配的な部品には2次要素を優先的に使うようにしている。

メッシュ分割の粗さが結果を左右する

FEM解析における最大の落とし穴の一つが、メッシュの粗さと計算精度の関係だ。一般的に、メッシュを細かくするほど計算精度は上がるが、計算時間は指数関数的に増大する。設計者としては、限られた時間の中でどこまでメッシュを細かくすべきかという判断が求められる。

私が実務でよく使う考え方は、応力が集中しやすい箇所(フィレット、穴のエッジ、断面急変部)を重点的に細かくし、それ以外の平坦な領域は粗いメッシュのままにするという方法だ。全体を均一に細かくメッシュ分割すると計算時間が膨大になり、結果を見るまでに何時間もかかってしまう。実務では設計変更のたびに解析をやり直すことが多いため、この計算時間の長さは致命的なボトルネックになる。

以下は、私が実際にメッシュ分割で意識している基準を整理したものだ。

ある案件で、機械オペレーターがよく手をかけるハンドル支持部のFEM解析を行った際、最初は全体を均一な粗いメッシュで解析し、問題なしという結果が出ていた。しかし念のためフィレット部のメッシュだけを細かく切り直したところ、応力値が最初の解析結果の約1.8倍に跳ね上がった。もし最初の粗いメッシュの結果だけを信じて設計を進めていたら、実機で疲労破壊が起きていた可能性が高い。この経験から、応力集中が想定される箇所は必ずメッシュを細分化して再確認するという手順を、自分の中でルール化している。

メッシュの品質を確認する際、私はメッシュを切った後に必ず「アスペクト比」と「ゆがみ度(スキューネス)」を確認するようにしている。要素が極端に細長かったり、ゆがんだ形をしていたりすると、計算上のエラーが出ないまま、実際には信頼性の低い結果が出力されてしまうことがある。多くのFEMソフトにはメッシュ品質をチェックする機能が標準で備わっているが、私が新人の頃はこの機能の存在すら知らず、ソフトが警告を出さない限り「メッシュは問題ない」と思い込んでいた。ある複雑形状の鋳物部品を解析した際、自動メッシュ生成機能で切ったメッシュの中に、アスペクト比が20を超える歪んだ要素が複数含まれていたことに後から気づいたことがある。該当箇所を手動でメッシュを切り直したところ、応力値が大きく変わった。自動メッシュ生成に頼りきらず、生成後に必ず品質を目視と数値の両方で確認する習慣をつけてからは、こうした見落としが大幅に減った。

境界条件の設定が結果を決める

メッシュと並んでFEM解析の精度を左右するのが境界条件の設定だ。境界条件とは、どこを固定し、どこにどんな荷重をかけるかという設定のことだが、これが実機の状況と乖離していると、いくらメッシュを細かくしても意味のある結果は得られない。

よくある失敗は、部品単体を切り出して解析する際に、実際には他の部品と接触・拘束されている面を「完全固定」として設定してしまうことだ。完全固定という条件は、その面が全く動かないことを意味するが、実際の組立体ではボルト締結部にわずかな弾性変形が生じたり、接触面で微小なすべりが発生したりする。この違いを無視すると、応力が実際よりも過大に、あるいは過小に評価されることがある。

私が経験した具体例では、ブラケットの取り付け面を完全固定として解析した結果、応力集中箇所での安全率が1.2程度しかなく、設計変更が必要という結論になりかけたことがあった。だが実際の組立状態では、取り付け面に多少の弾性変形が許容される構造になっていたため、より実態に近い「弾性支持」の境界条件に変更して再解析したところ、安全率は2.5程度まで改善した。もし最初の解析結果だけを信じて設計変更に踏み切っていたら、不要なコストと工数をかけるところだった。境界条件は「安全側に厳しく設定する」ことも重要だが、厳しすぎる設定は逆に不要な設計変更を招くこともあるという、バランス感覚が求められる。

境界条件の設定でもう一つ私が注意しているのは、荷重のかけ方だ。実機では荷重が特定の一点に集中してかかることは稀で、多くの場合は接触面全体に分布して伝わる。にもかかわらず、解析の初期段階では手軽さから荷重を一点に集中させて設定してしまうことがある。この設定のまま計算すると、荷重をかけた点の周辺に非現実的なほど高い応力(特異点応力)が発生し、あたかも危険な設計であるかのような誤った結果が出てしまう。私が経験した具体例では、板金部品にボルトで荷重をかける条件を、ボルト中心の一点荷重として設定したところ、その周辺の応力値が異常に高く表示され、設計変更が必要かと一時騒ぎになったことがあった。荷重条件を座金の接触面積に分布させる設定に修正したところ、応力値は現実的な範囲に収まった。荷重条件は「かかる場所」だけでなく「どう分布してかかるか」まで意識して設定しないと、実態とかけ離れた結果に振り回されることになる。

境界条件のもう一つの落とし穴が、複数部品が接触する箇所の設定だ。多くのFEMソフトには「接触(コンタクト)」条件があり、部品同士がすべりながら接触する状態や、隙間がある状態を模擬できる。ただしこの接触計算は非線形解析になり、計算時間が線形解析に比べて大幅に増えるため、実務では安易に「接触なし」で簡略化してしまうことがある。私が経験した案件では、2つの部品がボルトで締結される前提の解析を、接触条件を省略して単純に一体化(結合)した状態で計算していたところ、実機では発生するはずの部品間のわずかな相対変位が解析上は再現されず、実際の不具合(締結部の緩み)を見逃す結果になった。接触条件を正しく設定し直したところ、部品間にわずかなすべりが生じることが確認でき、締結トルクの見直しにつながった。計算時間とのトレードオフはあるが、部品同士の相互作用が結果を左右する箇所では、接触条件を安易に省略しないという判断が重要だと感じている。

荷重条件——静荷重だけでは足りないケース

設計者がFEM解析を行う際、最も基本となるのは静荷重(一定の荷重がかかり続ける状態)での解析だが、実際の機械部品の多くは繰り返し荷重や衝撃荷重にもさらされる。静荷重解析だけで「安全率2.0以上あるから大丈夫」と判断してしまうと、疲労破壊を見落とすリスクがある。

私が携わった搬送設備の可動アームの案件では、静荷重解析上は安全率が十分に確保されていたにもかかわらず、量産後半年ほどでアーム基部にクラックが発生する不具合が起きた。原因調査の過程で、アームが1日に数百回という頻度で往復動作を繰り返すことによる金属疲労が主因だと判明した。静荷重解析では見えなかったこのリスクは、繰り返し荷重を考慮した疲労解析(S-N線図を用いた評価)を行って初めて明らかになった。

この経験以降、私は稼働頻度が高い可動部品については、静荷重解析に加えて簡易的な疲労評価を必ず行うようにしている。厳密な疲労解析には専門知識と時間が必要だが、少なくとも「この部品は1日に何回動くのか」「その荷重サイクル数で疲労限度を超える可能性はないか」という視点を持つだけでも、見落としを大きく減らせると実感している。

疲労評価をさらに実務に組み込む上で、私が心がけているのはS-N線図(応力振幅と繰り返し回数の関係を示す線図)を使う際に、安全側の余裕を持たせることだ。材料メーカーが公表しているS-N線図は、多くの場合きれいに管理された試験片での結果であり、実際の部品には表面粗さ、溶接部の残留応力、腐食環境といった、疲労強度を低下させる要因が数多く存在する。私はこうした要因を考慮して、カタログ値の疲労限度に対して安全率を多めに見込むようにしている。ある溶接構造物の疲労評価では、母材のS-N線図をそのまま使うと問題なしという結果だったが、溶接部特有の応力集中と残留応力を考慮した低減係数を適用して再評価したところ、実際には疲労限度を下回っていることが判明した。設計変更で溶接ビードの形状を見直し、応力集中を緩和したことで疲労寿命を確保できたが、もし母材のデータをそのまま信じていたら、量産後に同様のクラック不具合を再発させていたところだった。

衝撃荷重(短時間で急激にかかる荷重)についても触れておきたい。静荷重解析や疲労解析だけでは、落下や急停止といった短時間の衝撃現象は評価できない。私が携わった搬送台車の案件では、通常走行時の静荷重解析では十分な安全率が確保されていたが、非常停止時の急減速による慣性荷重を考慮していなかったため、量産後の実機テストで積載物の固定ブラケットが変形するトラブルが発生した。動的な衝撃荷重を評価するには、簡易的には静荷重に衝撃係数(状況に応じて2〜5倍程度)を掛けて評価する方法もあるが、より精密に評価したい場合は過渡応答解析(時間変化する荷重に対する挙動を計算する解析)が必要になる。すべての部品にここまでの解析を行う必要はないが、急停止や落下が想定される部品については、静荷重だけで安全と判断しないよう注意している。

解析結果の読み方——応力コンター図の落とし穴

FEM解析の結果は多くの場合、色分けされた応力コンター図で表示される。赤色が高応力、青色が低応力といった具合に視覚的に分かりやすく表現されるため、つい直感的に「赤いところが危ない」と判断してしまいがちだが、いくつか注意すべき点がある。

1つ目は、コンター図の色分けレンジ(最大値・最小値の設定)によって見た目の印象が大きく変わるという点だ。ソフトのデフォルト設定では、解析結果の最大値・最小値に合わせて自動的に色分けレンジが調整されることが多いが、この場合、局所的な特異点(メッシュの角など、実際には意味を持たない数値上のピーク)が最大値として表示され、コンター図全体が赤く見えてしまうことがある。私はこうした特異点による誤解を避けるため、材料の降伏応力を基準にした固定レンジで色分けし直すようにしている。

2つ目は、応力の平均化(スムージング)処理の影響だ。多くのFEMソフトはデフォルトで隣接要素間の応力値を平均化して滑らかな表示にするが、この処理によって実際のピーク応力が見えにくくなることがある。応力集中が疑われる箇所では、平均化なしの生の要素応力も確認するようにしている。

応力コンター図を読む際、私がもう一つ意識しているのは変形図(変位コンター図)と応力コンター図を必ずセットで確認することだ。応力だけを見ていると気づきにくいが、変形図を重ねて見ることで、想定していなかった方向に部品が変形していないか、隣接部品と干渉するような変形量になっていないかを確認できる。ある可動部品の解析で、応力的には全く問題のない結果が出ていたにもかかわらず、変形図を確認したところ、想定よりも大きくたわむことで隣接部品とわずかに干渉する可能性があることに気づいたことがあった。応力の数値だけを追っていたら見逃していた問題だった。FEM解析は応力の合否判定だけの道具ではなく、変形の挙動を可視化するツールとしても優秀だという点は、もっと意識されてよいと思っている。

解析結果の信頼性を確認するもう一つの方法が、メッシュを段階的に細かくしながら結果の変化を見る「収束性チェック」だ。メッシュを細かくしていったときに応力値がある一定の値に収束していけば、その結果は信頼できると判断できる。逆に、メッシュを細かくするたびに応力値が際限なく上昇し続ける場合は、モデル上に特異点(理論上は応力が無限大に発散する形状的な要因)が存在している可能性が高く、その数値をそのまま設計判断に使うべきではない。私は重要な評価箇所については、メッシュサイズを2〜3段階変えて計算し、応力値の変化率が数パーセント程度に収まっていることを確認してから、その結果を最終判断に使うようにしている。この一手間を惜しむと、たまたま出た数値に振り回されて過剰な設計変更をしてしまうリスクがある。

設計者としてFEM解析とどう向き合うべきか

私は解析の専門家ではない。統計学や有限要素法の理論を体系的に学んだわけでもない。それでも実務の中でFEM解析を使い続けてきて感じるのは、設計者がFEM解析を使う目的は「厳密な数値を出すこと」ではなく「設計判断の材料を増やすこと」だということだ。

FEM解析の結果を鵜呑みにせず、手計算での概算値と照らし合わせて桁が合っているかを確認する、境界条件が実機の状況を反映しているかを常に疑う、応力集中が疑われる箇所は必ずメッシュを細分化して再確認する。こうした基本的な姿勢を守るだけで、解析結果の信頼性は大きく変わってくる。

専門の解析エンジニアがいる現場であっても、設計者自身がFEM解析の考え方を理解していれば、解析エンジニアとの会話の質が変わる。「この境界条件はこういう理由で設定した」「この荷重サイクルを考慮してほしい」といった具体的な要求ができるようになると、解析結果を実際の設計改善に落とし込むスピードも上がる。FEM解析は特別な人だけの道具ではなく、設計者が使いこなすべき実務スキルの一つだと、私は今では確信している。

最後に、FEM解析を実務で使いこなす上で私が大切にしているもう一つの姿勢を付け加えておきたい。それは、解析結果と実機での挙動を照らし合わせる機会を意識的に作ることだ。量産後にひずみゲージによる実機測定を行える機会があれば、可能な限り解析結果と比較するようにしている。両者が近い値であれば自分の解析の進め方に自信を持てるし、乖離があればその原因(境界条件の設定ミスか、想定していなかった荷重の存在か)を突き止めることで、次の解析の精度が上がる。この答え合わせのプロセスを繰り返すことでしか、解析結果をどこまで信頼していいかという感覚は養われないと感じている。解析ソフトの操作を覚えるだけでなく、実機とのフィードバックループを回し続けることこそが、設計者としてFEM解析を武器にする一番の近道だと思っている。

振り返ってみると、私がFEM解析を実務の武器にできるようになったのは、ソフトの操作を覚えたからではなく、数々の失敗を通じて「どこを疑うべきか」という勘所を積み重ねてきたからだと感じている。メッシュの粗さ、境界条件の妥当性、荷重条件の見落とし、コンター図の見た目に惑わされること。これらはどれも、教科書を読んだだけでは実感として身につきにくく、実際に痛い目を見て初めて骨身に染みる類のものだ。だからこそ、これから解析を学ぼうとしている若手設計者には、失敗を過度に恐れず、小さな案件のうちから積極的にFEM解析に触れて、自分なりの失敗談を早いうちに蓄積しておくことを勧めたいと思っている。